مبرهنة القيم الوسيطية
- مبرهنة القيم الوسيطية (الصيغة 1):
{f متصلة على [a;b]λ∈f([a;b]) ⟹ ∃α∈[a;b]:λ=f(α)\left\{ \begin{array}{l} f \text{ متصلة على } [a;b] \\ \lambda \in f([a;b]) \end{array} \right. \;\Longrightarrow\; \exists \alpha \in [a;b] : \lambda = f(\alpha){f متصلة على [a;b]λ∈f([a;b])⟹∃α∈[a;b]:λ=f(α)
- مبرهنة القيم الوسيطية (الصيغة 2):
{f متصلة على [a;b]f(a)f(b)<0 ⟹ ∃α∈[a;b]:f(α)=0\left\{ \begin{array}{l} f \text{ متصلة على } [a;b] \\ f(a)f(b)<0 \end{array} \right. \;\Longrightarrow\; \exists \alpha \in [a;b] : f(\alpha)=0{f متصلة على [a;b]f(a)f(b)<0⟹∃α∈[a;b]:f(α)=0
- المعادلة: f(x)=0 \;f(x)=0\;f(x)=0 تقبل على الأقل حلاً في المجال ]a;b[\;]a;b[]a;b[
{f متصلة على [a;b]f(a)f(b)<0 ⟹ المعادلة f(x)=0 تقبل على الأقل حلاً في المجال ]a;b[\left\{ \begin{array}{l} f \text{ متصلة على } [a;b] \\ f(a)f(b)<0 \end{array} \right. \;\Longrightarrow\; \text{المعادلة } f(x)=0 \text{ تقبل على الأقل حلاً في المجال } ]a;b[{f متصلة على [a;b]f(a)f(b)<0⟹المعادلة f(x)=0 تقبل على الأقل حلاً في المجال ]a;b[
- المعادلة: f(x)=0 \;f(x)=0\;f(x)=0 تقبل حلاً وحيدًا في المجال ]a;b[\;]a;b[]a;b[
{f متصلة على [a;b]f رتيبة قطعًا على [a;b]f(a)f(b)<0 ⟹ المعادلة f(x)=0 تقبل حلاً وحيدًا في المجال ]a;b[\left\{ \begin{array}{l} f \text{ متصلة على } [a;b] \\ f \text{ رتيبة قطعًا على } [a;b] \\ f(a)f(b)<0 \end{array} \right. \;\Longrightarrow\; \text{المعادلة } f(x)=0 \text{ تقبل حلاً وحيدًا في المجال } ]a;b[⎩⎨⎧f متصلة على [a;b]f رتيبة قطعًا على [a;b]f(a)f(b)<0⟹المعادلة f(x)=0 تقبل حلاً وحيدًا في المجال ]a;b[
الدوال الاعتيادية المتصلة
- كل دالة حدودية فهي متصلة على R\mathbb{R}R.
- كل دالة جذرية فهي متصلة على مجموعة تعريفها.
- الدالتان x↦cosx \;x \mapsto \cos x\;x↦cosx و x↦sinx \;x \mapsto \sin x\;x↦sinx متصلتان على R\mathbb{R}R.
- الدالة x↦tanx \;x \mapsto \tan x\;x↦tanx متصلة على
R∖{π2+kπ | k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \;\middle|\; k\in\mathbb{Z}\right\}R∖{2π+kπk∈Z}
- الدالة x↦x \;x \mapsto \sqrt{x}\;x↦x متصلة على [0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[.
- الدالة x↦∣x∣ \;x \mapsto |x|\;x↦∣x∣ متصلة على R\mathbb{R}R.